Question

如何证明单摆是简谐振动

Answer 1

设水平方向的偏离为S，摆长为L，摆线与竖直线夹角为α，则
回复力（水平方向）为mg*sinαcosα=(1/2)mgsin2α
当α充分小时sin2α≈2*sinα=2S/L
F≈mg*S/L，与S成正比，近似为简谐振动。

Answer 2

当单摆线与竖直线夹角为b时，对小球做受力分析：

受重力mg、绳的拉力T

沿绳方向，与切线方向分解重力。小球沿轨迹方向的运动由切向方程描述。切向受力为：

F=-mgsinb

当b足够小时，sinb=b

F=-mgb

而夹角为b时，小球摆过的弧长为：x=l*b(l为绳长)

代入，得：

F=-(mg/l)x

这就满足了简谐运动的条件：F=-kx

因此，条件时：b足够小。一般，b小于5度时，它的近似程度能满足我们的要求。其实：4度更好，2度更更好！5.1度呢？也勉强可以。关键看所研究的问题对于近似度的需求。