Question

请数学高手帮忙！！！

请教大家一个问题：求不定积分∫ x* e^(-x/2)d(x)的解答，谢谢.......

Answer 1

解1：
经查积分表，有：
∫ x(e^ax)dx=[(ax-1)/(a^2)]e^(ax)+C
这里：a=-1/2，因此，有：
∫ xe^(-x/2)dx={[(-1/2)x-1]e^(-x/2)}/[(-1/2)^2]+C
∫ xe^(-x/2)dx=[(-x/2-1)e^(-x/2)]/(1/4)+C
∫ xe^(-x/2)dx=(-2x-4)e^(-x/2)+C
∫ xe^(-x/2)dx=-2(x+2)e^(-x/2)+C

解2：
令：t=-x/2，则：x=-2t，dx=-2dt
代入所求，有：
∫x e^(-x/2)dx
=∫(-2t)(e^t)(-2dt)
=4∫t(e^t)dt
=4∫td(e^t)
=4(te^t)-4∫(e^t)dt
=4(te^t)-4(e^t)+C
=4[(-x/2)e^(-x/2)]-4e^(-x/2)+C
=-2xe^(-x/2)-4e^(-x/2)+C
=-2(x+2)e^(-x/2)+C

Answer 2

这个用分步积分法
∫ x* e^(-x/2)dx
=-2∫ x* e^(-x/2)d(-x/2)
=-2∫ xde^(-x/2)
=-2x* e^(-x/2)+2∫ e^(-x/2)dx
=-2x* e^(-x/2)-4∫ e^(-x/2)d(-x/2)
=-2x* e^(-x/2)-4e^(-x/2)+C

Answer 3

∫ x* e^(-x/2)dx
=-2∫ x* e^(-x/2)d(-x/2)
=-2∫ xde^(-x/2)
=-2x* e^(-x/2)+2∫ e^(-x/2)dx
=-2x* e^(-x/2)-4∫ e^(-x/2)d(-x/2)
=-2x* e^(-x/2)-4e^(-x/2)+C