Question

如图已知在同一平面直角坐标系中,直线Y=kx+2-k/2与Y轴交与点P,抛物线Y=x^2-2(k+1)

如图已知在同一平面直角坐标系中，直线Y=kx+2-k/2与Y轴交与点P，抛物线Y=x^2-2(k+1)x+4k与X轴交与点A（x1,0),B(x2,0)两点，C是抛物线的顶点。
1.求二次函数的最小值
2.①当k取何值时，直线通过B
②是否存在实数k，是S△ABP=S△ABC？若存在，请求此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1.当x=k+1时，二次函数取最小值，为-k^2+2k-1。
2.抛物线方程y=x^2-2(k+1)x+4k=(x-2)(x-2k)，假如B为(2,0)，直线通过该点，则得2k+2-k/2=0，k=-4/3，假如B为(2k,0)，则2k^2-k/2+2=0，k无实数解，因此当k取-4/3时，直线通过B。
点P坐标(0,2-k/2)，AB长度为2k-2的绝对值，C点纵坐标为-(k-1)^2，要使三角形ABP与ABC的面积相等，则只需高相等，即2-k/2的绝对值=(k-1)^2，即2-k/2=(k-1)^2或k/2-2=(k-1)^2，前者的解2和-1，后者无解，因此当k为2或-1时，两个三角形面积相等，抛物线解析式分别为y=x^2-6x+8和y=x^2-4。