Question

有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币。现在不知假币比真币重还是轻

（1）利用天平，至少称几次可以判断假币比真币重还是轻？说说你的想法。
（2）在上题的基础上，至少称几次就能找出那枚假币？

Answer 1

1、 至少称4次。 先称出101枚的总质量为M，再任意选3枚，将这3枚每一枚都称一下，将这每一枚的质量均乘以101，分别记为A、B、C，如果A、B、C均大于（或小于）M，则这三枚均是真币，那自然能得出真币比假币重（或轻）；如果A、B、C中有两个大于（或小于）M ，一个小于（或大于）M，那两个自然是真币，那一个是假币，这也能得出真的重还是假的重。注意如果选2枚称，它们一个质量的101倍如果均大于（或小于）M，那好说，如果一个大于M，一个小于M，那就得再选一个称。所以至少称4次。
2、 在第一问基础上假设假币重，先算出101枚总质量单个平均质量为a，再把101枚分作50个一堆，51个一堆，把这两堆分别称一下，算出这两堆中每一堆单个的平均质量记为b、c，则假币一定在b、c中大于a的那一堆中；再把这一堆分为相等（或近似相等）的两堆（假币在50中分作25、25；如果在51中则分作25、26）把这两堆分别称一下，算出两堆平均单个质量，同样假币一定在平均单个质量大的那一堆中；…… 按这种称法，这前边总共得称2＋2＋2＋2＋2＝10次，假币可能在最后剩余的3个中或者4各中。要最后称出假币，再称3次就能称出假币，所以总共得称13次就能称出假币。

Answer 2

一、至少称2次，操作如下：
101个硬币平均分成三份，分别是：34，34，33，把两堆34个放在天平上称，

1、如果平衡，说明这68个都是真的。然后从这两堆共68个中取出33个，与第三堆的33个分别放在天平的左右盘中称，这样，第三堆所在的天平的那一端的轻重就是假币的轻重情况。

2、如果两个34放在天平上不平衡，说明第三堆的34个是真的。取下轻的一端的34个，分成17、17放在天平两端，如果平衡，说明这34个是真币，之前才重一堆中有假币，假币比真的重；如果不平衡，说明这34个中有假币，因为这34个是轻的一堆，所以假币比真币的轻。（也可取下重的一端的34个，分成17、17放在天平两端，如果平衡，说明这34个是真币，之前才轻一堆中有假币，假币比真币的轻；如果不平衡，说明这34个中有假币，因为这34个是重的一堆，所以假币比真币的重。）
二、在上题的基础上，至少称5次（如果上面的2次不算，那再3次）就能找出那枚假币。