Question

求级数∑(n+1)(n+2)x^n的收敛区间,并求和函数

Answer 1

令An = (n + 1)(n + 2)
由比值审敛法：p = lim(n->无穷)An/An+1 = 1 =>收敛半径R = 1/p = 1=>收敛域：（-1,1）
下面来讨论x = -1和1处的敛散性：
1.当x = 1时，原级数E(n + 1)(n + 2)明显发散，因为一般项不趋于0；
2.当x = -1时，原级数为交错级数，不符合莱布尼茨审敛条件，故发散；
综上：原级数的收敛区间为(-1,1)
设和函数为s(x)
对原级数每一项逐项积分2次得t(x) = Ex^(n + 2);这是一个首项x^3，公比x的等比级数，
当-1<x<1时：t(x) = x^3/(1-x)
t(x)是由s(x)2次积分而来，所以对t(x)2次求导就得到s(x)
s(x) = 2x(x^2 - 3x + 3)/(1 - x)^3