Question

数学积分问题。

ux=-4y
uy=-4x
dψ=uxdx+uydy
求ψ
积分过程一定要详细到每一步
因为一些我不知道的错误，这类问题我算出的结果总是和正确答案的其中一项相差一个2倍关系，求解

Answer 1

设Ux=P=-4y，Py=Qx=-4x，则dψ=Pdx+Qdy. 因为Qx=Py=-4，所以满足积分与路径无关的条件。取简单积分路径(0,0)到(x,0),再到(x,y).则Pdx+Qdy的积分变成两个定积分，一个是0到x上对x的积分，此时y=0，dy=0，故Pdx+Qdy=0,即积分为0.另一个是0到y上对y的积分，此时x=x, dx=0，故Pdx+Qdy=-4xdy，故积分为-4xy。因此ψ=-4xy+C。

Answer 2

dψ=-4ydx-4xdy=-4(ydx+xdy)=-4d(xy)=d(-4xy)，所以ψ=-4xy+C，其中C为任意常数。

追问

拆开积分怎么算？我给的是个特例，比如说ux=x^2+x-y^2 uy=-2xy-y，这时候怎么算ψ

追答

首先判断ψ是否存在，即一般教材上的P对y求偏导是否等于Q对x求偏导，再用第二型曲线积分。
初始点一般选(0, 0)或(1, 0) 、(0, 1)，只要使得P、Q有意义。你举的例子选(0, 0)，因为积分与路径无关，所以选择沿坐标轴的路径。我选择先y轴后x轴（uy中的x代为0，ux的y不变），则
ψ=∫(0→y)-ydy+∫(0→x)(x²+x-y²)dx
=-y²/2+x³/3+x²/2-xy²

Answer 3

根据ux=-4y，uy=-4x，联立求解x=y，u=1，dψ=uxdx+uydy=2uxdx,两边积分得出
ψ=ux²=x²

追问

ux uy一眼看出这里的x y是下标，你当我解小学方程呢

Answer 4

u(x)=-4y
u(y)=-4x
d(ψ)=u(x)dx+u(y)dy
d(ψ)=-4ydx-4xdy
ψ=∫u(x)dx+∫u(y)dy=-2xy+C1-2xy+C2=-4xy+C
C1、C2、C全为常数

追问

倒数第二行∫u(x)dx=-2xy+C1，我就是这里出的问题，能说一下为什么能积出-2xy而不是-4xy，等了半天没回复，难道是我问的太白痴了，不过我确实是这里不会啊…