Question

正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE =AE，求证：AF平分∠DAE.

Answer 1

设正方形边长为4a,CE=x,，则BE=a-x ，AE=a+x

由RT△ABE得x²+(4a-x)²=(4a+x)²

∴x=a，即EC=a，CF=DF=2a，BE=3a

连结FE，由勾股定理得EF=根号5*a，AF=2根号5*a，AE=5a,

∴EF/FD=AF/DA=AE/AF=根号5/2，

∴△AEF∽△AFD

∴∠EAF=∠FAD

即AF平分∠DAE

Answer 2

证明：连结EF并延长EF交AD延长线于G。
因为 四边形ABCD是正方形，
所以 AD//BC，AD=DC，
因为 AD//BC，
所以 角G=角FEC，角GDF=角C，
又因为 DF=CF，
所以 三角形GFD全等于三角形EFC，
所以 DG=CE，EF=FG
因为 DC+CE=AE，AD=DC，DG=CE，
所以 AE=DC+CE=AD+DG=AG，
因为 AE=AG，EF=FG，
所以 AF平分角DAE。（等腰三角形三线合一定理）