Question

设∑：x2+y2+z2=a2（z》0），∑1是∑在第一卦限部分，则有∫∫∑ z ds=4∫∫∑1 zds

为什么是z 不是x或y

Answer 1

因为有条件z>0，因此积分曲面关于xoy面不对称，而积分曲面关于xoz面和yoz面均是对称的，由于x和y分别关于x、y是奇函数，因此：∫∫∑ x ds=0，∫∫∑ y ds=0，与4∫∫∑1 xds、4∫∫∑1 yds不相等。

对于∫∫∑ z ds，由于曲面关于xoy面不对称，不能考查z的奇偶性，只能看x与y的奇偶性，而函数z关于x、y均为偶函数，因此就有∫∫∑ z ds=4∫∫∑1 zds成立。

学好积分的方法：

首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。

理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什么关于x是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，陈文登的书上面好像都总结了。

然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，同济第五版的高等数学，上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。

Answer 2

因为有条件z>0，因此积分曲面关于xoy面不对称，而积分曲面关于xoz面和yoz面均是对称的，由于x和y分别关于x、y是奇函数，因此：∫∫∑ x ds=0，∫∫∑ y ds=0，与4∫∫∑1 xds、4∫∫∑1 yds不相等。

对于∫∫∑ z ds，由于曲面关于xoy面不对称，不能考查z的奇偶性，只能看x与y的奇偶性，而函数z关于x、y均为偶函数，因此就有∫∫∑ z ds=4∫∫∑1 zds成立。

Answer 3

奇偶对称性