Question

计算计算∫∫﹙x^2+y^2﹚dS曲面∑是z^2=3(x^2+y^2)被平面z=0和z=3所截得的部分

Answer 1

z=√(3x²+3y²)
(∂z/∂x)²=3x²/(x²+y²)，(∂z/∂y)²=3y²/(x²+y²)，
√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂x)²)=√(1+3)=2
∫∫﹙x^2+y^2﹚dS
=2∫∫﹙x^2+y^2﹚dxdy 积分区域为：x²+y²≤3
=2∫∫ r³ drdθ
=2∫[0→2π] dθ∫[0→√3] r³ dr
=4π*(1/4)r^4 |[0→√3]
=9π

追问

为什么那个积分区域是x²+y²≤3？

追答

z=3与z^2=3(x^2+y^2)相交得：9=3(x^2+y^2)，即x²+y²=3