Question

求问一个常微分方程的题

y''+3y'+2y=1/(1+e^(2x))
平时做到的等号右边都是p(x)e^(ax)类型的。。。

Answer 1

原方程对应的特征方程为：x^2 + 3x + 2 =0 => x = -2 或者 x = -1. 即齐次部分 y'' + 3y' + 2y = 0 的两个特解为：u(x) = e^(-2x)，v(x) = e^(-x). 则非齐次方程：y'' + 3y' + 2y = f(x) = 1 / (1 + e^(2x)) 的通解公式为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * f(s) ds
将u(x)，v(x)，f(x) 代入上式计算得到：
y = C1 * e^(-2x) + C2 * e^(-x) + e^(-x) * arctan(e^x) - 1/2 * e^(-2x) * ln(1 + e^(2x)).
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