Question

存在一个数,使得不等式<0成立满足的条件

(1)求证：当a≥1时，不等式 对于n∈R恒成立. (2)对于在(0，1)中的任一个常数a，问是否存在 使得 成立？如果存在，求出符合条件的一个 ；否则说明理由.____

Answer 1

【分析】 (1)：分x≥0和x<0讨论：(Ⅰ)在x≥0时，要使 成立；(Ⅱ)在x≤0时，要使 成立.利用导数研究函数的单调性，从而得到，原不等式 在a≥1时，恒成立； \n(2)先将 变形为 ，使此式成立，只需找到函数 的最小值，满足t(x)m∈<0即可，对t(x)求导数，研究其单调性和最值，最后得出可找到一个常数 ，使得不等式成立. (1)证明：(Ⅰ)在x≥0时，要使 成立. \n只需证： ，即需证： ① \n令 ，求导数 \n∴ ， \n又a≥1，x≥0， \n故y'(x)≥0 \n∴y(x)为增函数，故y(x)≥y(0)=1，从而①式得证 \n(Ⅱ)在x≤0时，要使 成立. \n只需证： ，即需证： ② \n令 ，求导数得 \n而 在x≤0时为增函数 \n故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0，从而m(x)≤0 \n∴m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证 \n由于①②讨论可知，原不等式 在a≥1时，恒成立…(6分) \n(2)将 变形为 ③ \n要找一个 ，使③式成立，只需找到函数 的最小值， \n满足t(x)m∈<0即可，对t(x)求导数 \n令t'(x)=0得 则x=-lna，取 \n在0<x<-lna时，t'(x)<0，在x> -lna时，t'(x)>0t(x)在x=-lan时，取得最小值 \n下面只需证明： ，在0<a<1时成立即可 \n又令 ，对p(a)关于a求导数 \n则 ，从而p(a)为增函数 \n则p(a)<p(1)=0，从而 得证 \n于是t(x)的最小值t(-lna)<0 \n因此可找到一个常数 ，使得③式成立 …(14分) 【点评】 利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，考查了分类讨论的思想与转化的思想．解决本题同时应注意研究导函数的单调性得出导数的正负，从而得出原函数的单调性的技巧．