Question

已知f(x)=2x4x+1，x∈(0，1);(Ⅰ)试判断并证明f(x)的单调性;...

已知f(x)=2x4x+1，x∈(0，1); (Ⅰ)试判断并证明f(x)的单调性; (Ⅱ)若方程f(x)+f(-x)=λ有实数根，求λ的取值范围.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)f(x)是定义域上的减函数，证明如下:
设0＜x1＜x2＜1，
则f(
x

1
)-f(
x

2
)=
2x1
4x2+1
-
2x2
4x2+1
=
2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)
(4x2+1)(4x2+1)
=
(2x1+x2-1)(2x2-2x1)
(4x2+1)(4x2+1)
;
∵2x1+x2＞1，2x2＜2x1∴f(x1)＜f(x2);
∴f(x)是减函数.
(Ⅱ)∵f(x)在x∈(0，1)上单调递减，
∴f(1)＜f(x)＜f(0)，
即
2
5
＜f(x)＜
1
2
;
∵f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1
=f(x)，
∴λ=f(x)+f(-x)=2f(x)，
∴即当x∈(0，1)时，
4
5
＜λ＜1;
∴λ的取值范围是{λ|
4
5
＜λ＜1}.