Question

1 已知f(x)=(x^2+4)/x,判断并证明函数在(0,正无穷)上的单调性

2 利用1的结论,求函数y=(x的4次方+2x^2+5)/x^2+1,x∈[-1,2]的值域

Answer 1

(1)f(x)=(x^2+4)/x=x+4/x对其求导有导数=1-4/x^2导数大于0为增，小于0为减，所以f(x)=(x^2+4)/x在（0.2）为增在（2，正无穷）为减
（2）y=(x的4次方+2x^2+5)/x^2+1,y=[(x^2+1)^2+1]/x^2+1,令x^2+1=z则z∈[1,5]y=（z^2+4)/z又因为f(x)=(x^2+4)/x在(0,正无穷)上的单调性在【1,2】单减在【2,正无穷】单增，所以z=2时最小y=4，z=1时y=5,z=5时y=29/5所以最大值是29/5所以函数y=(x的4次方+2x^2+5)/x^2+1,x∈[-1,2]的值域是【4,29/5】

Answer 2

1）证明f(x)=(x^2+4)/x,=x+4/x>=2√4=4
当x=4/x即 x=2时取得最小值 所以 f(x)在x=2时是一个拐点
当 0<x<=2时
f(x)=(x^2+4)/x 随着x的增大而减小 所以单调递减
当x>=2时
f(x)=(x^2+4)/x 随着x的增大而增大 所以单调递增
综合
f(x)=(x^2+4)/x在（0,2】单调递减 在【2，+∞）单调递增。
2）y=(x^4+2x^2+5)/x^2+1=(x^2+1)+4/x^2+1 x∈[-1,2] 所以 0=<x^2<=4
令x^2+1=t t∈【1,5】
ymin=y(2)=2+4/2=4 即x^1+1=2时 x=1或-1时
ymax=y(5)=29/5 即x^2+1=5时
所以y=(x^2+1)+4/x^2+1 y∈[4,29/5]