Question

证明：级数∑(∞,n→1) sin(π√（n²+1）)是交错级数, 并证明该级数条件收敛.

Answer 1

首先由和差化积应该知道
(-1)^nsin(π√(n²+1)-nπ)
=
(-1)^nsin(π√(n²+1))*cosnπ=
(-1)^(2n)*sin(π√(n²+1))=sin(π√(n²+1))
所以sin(π√(n²+1))=(-1)^nsin(π√(n²+1)-nπ)=(-1)^nsin[π/(√(n^2+1)+n)]所以原级数为交错级数
又lim
n->无穷
sin[π/(√(n^2+1)+n)]/(1/n)=lim
nπ/(√(n^2+1)+n)]=π/2所以sin(π√(n²+1))与调和级数同发散。
又容易知lim(n→无穷)sin1/[√(n²+1)+n]π=0
且容易验证单调性sin1/{[√[(n+1)²+1]+(n+1)]}π≤sin1/[√(n²+1)+n]π
根据莱布尼茨判别法可知，此交错级数收敛。
本身收敛，绝对值发散，所以级数条件收敛。