Question

已知（1-2x)^7=a0+a1x+a2x²+...a7x^7

1求a1+a3+a5+a7
2求a0+a2+a4+a6
3求︳a0︳+︳a1︳+︳a2︳+....︳a7︳

Answer 1

(1－2x)^7=a0＋a1x＋a2x²＋a3x³＋…＋a7x^7
以x=1代入，得：
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7=－1 --------------------------------(1)
以x=－1代入，得：
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7=3^7=2187 ------------------(2)
(1)加(2)，得：
2a0＋2a2＋2a4＋…＋2a6=2186
a0＋a2＋a4＋a6=1093
(1)减(2)，得：
2a1＋2a3＋2a5＋2a7=－2188
a1＋a3＋a5＋a7=－1094

由于a0>0，a1<0，a2>0，a3<0，a4>0，a5<0，a6>0，a7<0，则：
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7=3^7=2187【就是以x=－1代入的值】

Answer 2

赋值法
1. 在a0+a1x+a2x²+...a7x^7中令x=1,得
a0+a1+……+a7=(1-2)^7=-1…①
2. 在a0+a1x+a2x²+...a7x^7中令x=-1,得
a0-a1+……-a7=(1+2)^7=2187…②
①+②得a0+a2+a4+a6=1093
①-②得 a1+a3+a5+a7=-1094
3. 各项二项的二项式系数和=C(7,0)+C(7,1)+…+C(7,7)=2^7=128
（参考课本上1+2+3+...+n=2^n)