Question

已知:RT△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,ED⊥AC于E 求证:AD²;=BD·CD

（2）求证AE·AC=BD·CD（3）若BD=16，CD=9，求DE的长

Answer 1

（1）证明：因为角BAC=角BAD+角DAC=90度
因为AD垂直BC于D
所以角ADC=角ADB=90度
因为角ADC+角C+角DAC=180度
所以角BAD+角DAC=角DAC+角C=90度
所以角BAD=角C
因为角ADB=角ADC=90度
所以三角形ADB和三角形ADC相似（AA)
所以：AD/DC=BD/AD
所以：AD^2=BD*CD
(2)因为DE垂直AC于E
所以角AED=角DEC=90度
因为角ADE+角AED+角DAE=180度
所以角ADE+角DAE=90度
因为角ADC=90度
角ADC+角DAC+角C=90度
所以角DAC+角C=角DAC+角ADE=90度
所以角ADE=角C
因为角AED=角ADC=90度
所以三角形AED和三角形ADC相似（AA)
所以：AD/AC=AE/AD
所以：AD^2=AE*AC
因为AD^2=BD*CD （已证)
所以：AE*AC=BD*CD
(3)因为AD^2=BC^CD（已证）
因为BD=16 CD=9
所以AD=12
因为角ADB=角DEC=90度（已证）
角BAD=角C（已证）
所以三角形ADB和三角形CED相似（AA)
所以BD/DE=AB/CD
角BAC=角ADB=90度
角B=角B
所以三角形ADB和三角形CAB相似（AA)
所以：AB/BC=BC/AB
所以：AB^2=(BC+CD)*BD=25*16
所以：AB=20
所以：16/DE=20/9
所以：DE=36/5=7.2
所以：DE的长是7.2

Answer 2

证明：
（1）在RT⊿ABD和RT⊿CAD中
∵∠B=∠CAD=90°-∠C
∠ADB=∠CDA=90°
∴RT⊿ABD∽RT⊿CAD
∴AD：BD=CD：AD
得AD²=BD*CD

（2）在RT⊿ADE和RT⊿ACD中
∵∠DAC=∠EAD=90°-∠C
∠ADC=∠DEA=90°
∴RT⊿ADE∽RT⊿ACD
∴AE：AD=AD：AC
得AD²=AE*AC
AD²=BD*CD
∴AE*AC=BD*CD

（3）∵AD²=BD*CD BD=16，CD=9
∴AD=12
在RT⊿ADC中
AD=12
CD=9
∴AC=15
∴DE=AD*DC/AC=12*9/15=7.2