Question

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1C1和BC的中点。 求证EF‖平面AA1B1B

若AA1=3，AB=2√3，求异面直线EF与AB所成的角

Answer 1

(1)设AB的中点为G，连结A1G、FG。
FG是三角形ABC的中位线，即FG//AC，且FG=AC/2。
由点E是A1C1中点及直三棱柱性质可知，A1E//AC，且A1E=AC/2。
所以，FG//A1E，且FG=A1E。
因此，四边形A1EFG是平行四边形，即EF//A1G。
因为A1G在平面AA1B1B内，EF不在平面AA1B1B内。
所以EF//平面AA1B1B。
(2)设AC的中点为H，连结EH、FH。
FH是三角形ABC的中位线，即FH//AB，且FH=AB/2=√3。
所以，异面直线EF与AB所成角为EFH。
在直角三角形EFH中，EH=AA1=3。
tan角EFH=EH/FH=3/√3=√3。
所以角EFH、即异面直线EF与AB所成角为60度。

Answer 2

取A1B1的中点G，连接EG；做GH⊥AB，垂足为H，连接GB。
在四边形BFEG中，EG=B1C1/2=BC/2=FB，EG//FB
所以四边形BFEG是平行四边形，所以FE//BG，所以EF平行平面AA1B1B。
由于EF//BG，所以EF和AB的夹角等于BG和AB的夹角，设此夹角为θ。显然，三角形GHB为直角三角形，所以：tanθ=GH/HB；
因为G为A1B1的中点，所以H点是AB的中点，所以HB=AB/2，所以：
tanθ=GH/HB=2AA1/AB=2×3/(2√3)=√3
所以：θ=60°