Question

设函数u(x, y)具有二阶连续偏导数, L为自点(0,0)沿曲线y = sin x至点A(π ,0)的有向弧段,求曲线

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Answer 1

 一个函数，如果它的一阶偏导数对各个变量的偏导数还存在，那么一阶偏导数的偏导数的偏导数就是二阶偏导数，二阶偏导数作为一个函数，也有是否连续的问题。解题如下

 u'x(x,y)=x^4

u'‘xx(x,y)=4x^3 u''xx(1,2)=4

u'‘xy(x,y)=0 u''xy(1,2)=0
u(x,2x)=x^2对x求导：
u’x(x,2x)+2u'y(x,2x)=2x,再对x求导：
u’‘xx(x,2x)+2u’‘xy(x,2x)+2u''yx(x,2x)+4u''yy(x,2x)=2
u’‘xx(1,2)+2u’‘xy(1,2)+2u''yx(1,2)+4u''yy(1,2)=2
u''yy(1,2)=-1/2

偏导数是对二元或多元函数中的某一变量求导数,将其余变量看为常数。

而偏导数实际上是指偏导数函数,应看作关于求导变量的函数.所以,连续偏导数是指其偏导数函数在定义域连续,也即没有间断点。

Answer 2

如图

Answer 3

P=yu+xyu'(x)+y+xsinx
Q=xu+xyu'(y)+e^(y^2)-x
P‘(y)=u+yu'(y)+xu'(x)+xyu''(xy)+1
Q'(x)=u+xu'(x)+yu'(y)+xyu''(yx)-1
Q'(x)-P‘(y)=-2
现考虑从A(π ,0)到O(0,0)的直线段L1：y=0,x从π到0
由格林公式： ∫L+L1(Pdx+Qdy)= -∫∫(Q'(x)-P‘(y))dxdy=2∫∫dxdy=4
所以：∫L(Pdx+Qdy)=4-∫L1(Pdx+Qdy)
=4-∫ (π,0)xsinxdx=4-π

Answer 4

先计算L与x轴围成的闭曲线积分，用格林公式算为4。再计算x轴上由Pi到0的积分为-Pi。
二者相减即为L上的积分：4+Pi

Answer 5

我们在HI百度上说