Question

证明题（罗尔定理）如过函数y=f(x)在比区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(b)=f(a)，那么在区间(a,

b)内必在一点§ 是的f’ (§）=0

Answer 1

要用到费马引理来证明，下面是证明过程
根据 f是闭区间 [a,b] 上连续函数的性质，由极值定理得在 [a,b] 上有最大值M和最小值m　
⒈如果M=m，此时f(x）在[a,b]上恒为常数，结论显然成立。 　　
⒉如果M>m，假设f 在ξ 处取得最大值，不妨设M≠f(a）（如果设m≠f（a），证法完全类似），那么必定在开区间（a，b）内有一点ξ使f（ξ）=M。因此，∀x∈[a，b]，有f（x）≤f（ξ），由费马引理（fermat引理）可知f'（ξ）=0

Answer 2

∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(b)
因此
∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a)<=>[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(b)
由拉克朗日定理，存在ξ使：
[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(ξ)
ξ∈(a,b)
b>ξ>a
=>f(ξ)=f(b)
由l罗尔定理，存在ζ∈(ξ，b)使
f′(ζ)=0
ζ∈(ξ，b)=>ζ∈(a，b)因为ζ>ξ
【改】
∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).
由积分中值定理
∫(a,b)f(x)dx=f(β)(b-a).
β∈（a,b）
所以f(β)=f(b)
由罗尔定理
f′(α)=0 α属于（β，b）
也就属于（a,b）
希望能让您满意！
虽然我不懂

Answer 3

先要证明费马引理
即在某一点可导且在这一点取得极值，则这一点的导数为0
证明罗尔定理只需要证明在区间有最大值即可，很容易吧