Question

线性代数方程组的秩的疑问？

被两个定理搞蒙了 求解答
1.向量组的极大无关组中向量个数为向量组的秩
2.若n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r且r＜n，则方程组基础解系中有n-r个线性无关的解
在定理2里 A的秩为r 这个r不就是极大无关组的个数吗 无关组构成基础解系 那基础解系中不就是有r个无关的解吗 怎么会是n-r个?

Answer 1

这么理解，系数矩阵的秩是r.如果是在n个变量，那么就有n-r个变量是自由变量，所以，有n-r个基础解。
极大无关组个数表现的是系数矩阵的秩，不是解的个数。
这么考虑，理论上，n个方程，n个变量，那么就是唯一解。如果这里面n个方程系数矩阵并不是满秩矩阵，也就是有方程可以用另外方程表示出来，那么方程数少了，就产生了自由变量，有一个自由变量就有一个基础解，有2个，就有两个基础解。当秩为r.就有n-r个自由变量，那么就有n-r个基础解

Answer 2

如果n个未知数有n个独立的方程，则只有唯一的解。如果n个方程的系数矩阵的秩为r，则只有r个方程是独立的。设前面的r个变量对应的系数矩阵（原矩阵的（r*r子矩阵）子矩阵），我们将其余n—r个变量移动到方程组的右边去，视这些变量为参数。这些参数一旦确定，则其余r个变量只有一个解。注意到n—r个参数可以有n—r个线性无关的取法（一个参数为1、其余为零）因而对应的n维解向量有n—r个线性无关的解（一组向量的部分分量线性无关，则这组向量也线性无关）。

Answer 3

新的线性代数教材用 RREF 来解释比较容易理解一些。
1) 向量组的极大无关组中向量个数 = 此向量组经过 RREF 转换后的最大I(n) (identity matrix) 中 1 的个数，亦即此向量组的秩。
2) 若n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r且r＜n， 则表示经过 RREF 转换后余下全为零元素的行数，此行数等于 n-r，亦即线性无关解的个数。

Answer 4

在定理2里 A的秩为r 这个r不就是极大无关组的个数吗：这里要看说的是哪个向量组的极大线性无关组。r是A的列向量极大线性无关组的个数，而定理2说的是基础解系的极大线性无关组，也就是和A列向量垂直的向量的极大线性无关组，所以不是r，而是n-r

Answer 5

定理2里头，谁告诉的你系数矩阵秩是r，基础解系中有r个不相关向量的？
如果矩阵是方阵，而且满秩，也就是r=n，显然这个方程组只有零解，你还可以找到r个，也就是n个无关的解？
注意，r是系数矩阵的列向量组里最大无关组的向量个数，而基础解系里无关向量，跟系数矩阵的向量又不是同一个。