Question

急。。。请问下这个定积分怎么做啊？

∫1/√(a-x)(x-y)dx 积分上限是a下限是y,这个题目我看了答案 很有技巧性，请问各位大神，有什么好方法没啊？注：是根号下(a-x)(x-y)

Answer 1

解：
∫﹙y→a﹚1/√(a-x)(x-y)dx 【令a－x=u，x=a－u，dx=－du，0≤u≤a－y】
=∫﹙0→a－y﹚1/√u(a－y－u) d﹙－u ﹚

再令u＝﹙a－y﹚sin²θ，
∴du＝﹙a－y﹚2sinθcosθdθ
∵0≤u≤a－y
∴0≤sin²θ≤1
∴－1≤sinθ≤1
取－π/2 ≤θ≤π/2

∴
∫﹙y→a﹚【1/√(a-x)(x-y)】dx
=∫﹙0→a－y﹚【1/√u(a－y－u) 】 d﹙－u ﹚
=－∫﹙－π/2 →π/2﹚﹛1/【 [√(a－y﹚sin²θ ]× [√﹙a－y﹚cos²θ ]】﹜ ×﹙a－y﹚2sinθcosθdθ
=－∫﹙－π/2 →π/2﹚﹛1/【(a－y﹚﹙√sin²θ﹚﹙√cos²θ ﹚】﹜ ×﹙a－y﹚2sinθcosθdθ
∵－π/2 →0，√sin²θ=－sinθ，√cos²θ=cosθ，
0→π/2，√sin²θ=sinθ，√cos²θ=cosθ，
∴
－∫﹙－π/2 →π/2﹚﹛1/【(a－y﹚﹙√sin²θ﹚﹙√cos²θ ﹚】﹜ ×﹙a－y﹚2sinθcosθdθ
=－∫﹙－π/2 →0﹚﹛1/【(a－y﹚﹙－sinθcosθ ﹚】﹜ ×﹙a－y﹚2sinθcosθdθ－∫﹙0 →π/2﹚﹛1/【(a－y﹚sinθcosθ】 ﹜×﹙a－y﹚2sinθcosθdθ
=2θ |(－π/2 →0)－2θ |(0→π/2 )
=0