Question

已知函数f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R)。若在区间（0，+）上，函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方

求a的取值范围。在线等，及时回答有重赏。

Answer 1

已知函数f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R)。若在区间（0，+）上，函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方，求a的取值范围。
解析：∵函数f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R)，在区间（0，+∞）上，函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方
即2ae^x-f(x)>0恒成立
设g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
当a=0时
g(x)=1/2e^(2x)-x
令g’(x)=e^(2x)-1=0==>x=0
g’’(x)=2e^(2x)>0，∴g(x)在x=0处取极小值1/2>0
∴满足题意要求；

当a<0时
g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
令g’(x)=2ae^x-2(a-1/2)e^(2x)-1=0==>e^x=1或e^x=1/(2a-1)
∴x1=0,x2=-ln(2a-1)
g’’(x)=2ae^x-4(a-1/2)e^(2x)==> g’’(0)=2-2a
g’’(-ln(2a-1))=2a/(2a-1)-4(a-1/2)/(2a-1)^2=(4a^2-6a+2)/(2a-1)^2
∵a<0
∴g’’(0)>0，g(x)在x=0处取极小值g(0)=a+1/2
∴当-1/2<a<0时, 满足题意要求；

当a>0时
g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
令g’(x)=2ae^x-2(a-1/2)e^(2x)-1=0==>e^x=1或e^x=1/(2a-1)
∴x1=0,x2=-ln(2a-1)
g’’(x)=2ae^x-4(a-1/2)e^(2x)==> g’’(0)=2-2a，g’’(-ln(2a-1))=2a/(2a-1)-4(a-1/2)/(2a-1)^2=(4a^2-6a+2)/(2a-1)^2
∵a>0
∴0<a<1时，g’’(0)>0，g(x)在x=0处取极小值g(0)=a+1/2
1/2<a<1时，g’’(-ln(2a-1))<0，g(x)在x=-ln(2a-1)处取极大值；
A=1时，g(x)在定义域内单调减；
A>1时，g’’(0)<0，g(x)在x=0处取极大值；g’’(-ln(2a-1))>0, g(x)在x=-ln(2a-1)处取极小值；
∴0<a<=1/2时, 满足题意要求；

综上：当-1/2<a<=1/2时, 在区间(0,+∞)上，函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方；

Answer 2

f(a)+(a+1) =a 2;+2a 2;+3+a+1 =3a 2;+a+4=-9 3a 2;+化简：3a^2-a-11=0 解的：a的值 图象恒在x轴上方所以(2a)^2-

Answer 3

问：是a- 1/2还是（a-1）/2?

追问

a-(1/2)

追答

由题意，f(x)图像恒在y=2ae^x下方，即2ae^x-f(x)>0恒成立。设g(x)=2ae^x-f(x)=2ae^x-(a-1/2)e^2x-x，可发现当x=0时，g(x)=0。
求导，g'(x)=2ae^x-(2a-1)e^2x-1。如果满足题意，则g'(x)≥0在（0，+∞）恒成立。
设e^x=t，则g'(t)=-(2a-1)t^2+2at-1，t∈(0,+∞)。这可以看成t为变量的2次函数。
画个图，会发现g'(0)=-10,g'(0)=-1，所以g'(t)在x∈（0，+∞）时有正有负，函数有增有减，不成立，舍去。
a=0，检验成立。
a∈（0，1/2）时，g'(t)开口向上，对称轴为负，同样因为g'(0)=-1而不成立，舍去。
a=1/2,检验成立。
a∈(1/2,+∞),g'(t)开口向下，对称轴为正，不能保证g'(x)≥0在（0，+∞）恒成立，也舍了。

故a∈{0}∨{1/2}

实在对不起，看都看错了。但是这道题实在很奇特，真的很难呢。如果还是不对就去请教老师吧，我实在是没精力再重做了……耽误这么长时间，实在抱歉，不必给分了。