Question

如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交

如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、D两点的坐标分别是（-1，0）、（0，-1 ）．
求：（1）圆心M的坐标；
（2）如图，P是弧BC上一动点，G为弧PC的中点，直线BP、DQ交于点G，当点P在弧BC上运动时（不包括B、C两点），BG的长度是否发生变化？若变化，请指出变化范围，若不变化，请求出其值．

Answer 1

（1）解：连接OC，∵A（-1，0），M（1，0），∴OM=1，OA=2=OC，∵∠MOC=90°，由勾股定理得：OC=根号下（MC的平方−OM的平方）=根号3 ，
∴C的坐标是（0，根号3 ）；
（2）解：当点P在BC上运动时（不包括B、C两点）BK的长度不发生变化，总是2倍根号3 ，
理由是：连接BD，BC，BQ，CQ，∵Q为弧PC中点，∴弧CQ=弧PQ，∴∠CBQ=∠KBQ，∵CD⊥AM，AM过圆心M，∴弧AC=弧AD，弧BC=弧BD，∴弧BD+弧CD=弧BC+弧CD，∴∠CQB=∠QBD+∠QDB，∵∠KQB=∠QDB+∠QBD，∴∠CQB=∠KQB，在△CQB和△KQB中，

∠CQB＝∠KQB ，BQ＝BQ ，∠CBQ＝∠KBQ
∴△CQB≌△KQB（ASA），∴BK=BC，∵∠COB=90°，OC=根号3
，BO=1+2=3，∴由勾股定理得：BC=根号下（根号3的平方+3的平方）=2倍根号3 ，
即不管P如何移动，BK的值不变，都等于2倍根号3 ．

Answer 2

图