Question

利用三角形全等证明更多图形的性质

Answer 1

      利用长达好几周的时间，我们将全等三角形这一数学课题仔仔细细地学了一遍，从什么是三角形什么是全等三角形，到如何判定三角形全等，并发现了四种只用三个条件便能判定三角形全等的方法，并最后利用三角形全等解决了生活实际中的问题又或者几何中的某些问题。现在，无论是什么三角形全等的问题想必都已经不是什么难事，但我又想到了一个问题：“利用三角形全等，难道只能解决生活中的某些问题？三角形全等在欧式几何当中，还有其他用途吗？就比如说证明某个图形的性质？也许可以吧，但如果利用三角形全等证明某个图形的性质，那这个图形肯定或多或少和三角形有着一定的关系，和三角形有关系的图形有很多，但我第一个想到的便是从小学一年级就开始接触的一个图形：平行四边形

      平行四边形可以分成两个三角形，只要沿平行四边形的对角线切割便可以了，这么简单就能变成三角形的图形，绝对和三角形关系很大吧，不妨看看有三角形全等能够证明平行四边形的哪些性质。在小学两三年级的时候，老师就已经告诉过我们平行四边形的性质，其中听得最多的当然是平行四边形的对角都相等性质了。在我们的脑海里，这个性质好像本来就应该存在，没有为什么，是不证自明的，可是步入初中之后，我们会发现，所有图形的性质都要么是公理，要么必须被证明出来，平行四边形的这一性质看起来就不像公理，可是，怎么证明？

     

      以上是一个再正常不过的平行四边形，如果沿这个平行四边形的对角线切割，就能分别得到三角形ABC和三角形A D C，又或者三角形A B D和三角形B D C，这两个三角形看着有点相似，难道是全等三角形？也就是说，三角形ABC和三角形ADC中的小A B C和角A D C相等，三角形A B D和三角形B D C中的角B A D等于角D C B？可是目测总是靠不住的，我们需要证明它，证明必须有一个开始，必须有一个端点，那我们就将平行四边形的不相临边等作为一个公理吧，根据这个公理，我们可以得到A D等于B C，A B等于D C，这样一来，事情就变得很简单了：

    这便是已知A D等于B C， A B等于D C之后，证明三角形A C D 全等于三角形A B D，三角形C A B全等于三角形C D B，进一步推出角A C D等于角A B D，角C A B等于角B D C的过程了，过程当中，我先用S S S也就是三边相等判定三角形全等的公理证明了对应的两个三角形全等，再由两三角形全等证明出平行四边形ABC D的对角相等。

      就这样，利用三角形全等，我们成功地证明了三角形的相近图形平行四边形的一个性质：平行四边形的对角相等，原先那个没有根据的，只是老师告诉我们的平行四边形的性质，终于被严谨的逻辑过程证明了出来，当然，平行四边形还有另一个性质，那就是一角与除对角之外的所有角相加，结果都等于180度，但是这个性质可以直接根据A B平行于C D，B D平行于A D这个平行四边形的证明公里利用平行线推断出来，而不是利用三角形全等证明，因为A B平行于CD，所以角C A B加上角A C D等于180度，角A B D加上角B D C等于180度，依据是两直线平行同旁内角相等，换成另外四个角也一样。

      能够用三角形全等证明其性质的图形还有许多，我们现在发现三角形全等不仅仅可以解决生活中的某些问题和解决有三角形参加的问题，也可以用于证明与三角形有关系的图形的性质。