Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD

求证：OP=OQ。

着急，今天中午12点前能做出来的，追加100悬赏！！！！！！不限日期！越快越好！
速度！！不回答的别给我瞎答，要过程，不要思路！不会做的人不用搜索了，没有！
下面的人瞎J8证，求高手求解，没给出满意答案前，就永久有效！！

我再次追加悬赏！！！！！！下面的推荐答案，所有答案都不对！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！不限时间！！！

悬赏到顶了，我看看到底有没有最让我满意的答案出现！！！！！！！

Answer 1

有什么难的？简单的相似罢了，哪里用什么正弦定理？

Answer 2

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，求证：OP=OQ

商讨与分析：若ABCD为矩形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点只有一组，即P为AD的中点，Q为BC的中点；

若ABCD为平行四边形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点也只有一组，此时⊿PBC为等腰三角形，PB=PC，⊿QAD也为等腰三角形QA=QD；

若AD，BC不平行，即ABCD为梯形是找不出一组这样的点，同时满足上述条件的。
当满足上述条件时，AD必须垂直∠BPC的角平分线，同时，BC必须垂直∠AQD的平分线，满足此条件，恐怕唯有矩形ABCD或平行四边形ABCD，所以，梯形不会满足此条件。
所以…
不知你的题目的出处，请核查

Answer 3

其实本题的结论可以推广到一般的梯形，只是P点的位置不一定在AD上，也可能在DA的延长线上(不妨假定CD＞AB)，对于Q点也有类似的情况；我们可以联想一下几何光学里的反射定律，如果由B点发出的光线经AD反射后射向C点，反射点P的位置必然满足反射定律：入射角等于反射角，入射角和反射角是相对过P点的法线(AD的垂线)而言的，反射定律也可表述为入射光和AD的夹角等于反射光和AD的夹角，这正是本题条件。因此，对本题的条件稍加修改即可推广到一般梯形。

Answer 4

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，求证：OP=OQ

商讨与分析：若ABCD为矩形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点只有一组，即P为AD的中点，Q为BC的中点；

若ABCD为平行四边形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点也只有一组，此时⊿PBC为等腰三角形，PB=PC，⊿QAD也为等腰三角形QA=QD；

若AD，BC不平行，即ABCD为梯形是找不出一组这样的点，同时满足上述条件的。
当满足上述条件时，AD必须垂直∠BPC的角平分线，同时，BC必须垂直∠AQD的平分线，满足此条件，恐怕唯有矩形ABCD或平行四边形ABCD，所以，梯形不会满足此条件。
所以…
加油

Answer 5

设两个圆圆心为O1、O2，AB，CD中点M，N，连MN，由梯形知O在MN上，连O1O2交MN于O’，由于O1M∥O2N，所以O'M/O'N=O1M/O2N=AB/CD=OM/ON，所以O=O’，因为O1O2垂直平分PQ（公共弦），所以O在O1O2上，所以OP=OQ，证毕