Question

如图，已知正方形ABCD中，M是AB上任意一点……

如图已知正方形ABCD中，M是AB上的任意一点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交角CBE的平分线于点N。求证MD=MN。
可以加分！！！

Answer 1

其它证法大家都写了，再提供一种供参考，虽然简捷，但不容易被采纳。

证明：连AB、DN,(圆当然不用画的)

因为∠DBN=45°+45°=90°=∠DMN
∴D、M、B、N四点共圆
∴∠DNM=∠DBM=45°
∴△DMN是等腰直角三角形
∴MD=MN

Answer 2

在DA上截取DF=NB
因为四边形ABCD是正方形
所以AD=AB
因为DF=NB
所以FA=NA
因为角DAB=90
所以角AFN=角FNA=45度
所以角DFN=135
因为BM是角CBE的平分线
所以角MBN=90+45=135
所以角DEN=角ABM
因为角DNM=90
所以角ADN+角DNA=90度
因为角DNA+角MNB=90
所以角ADN=角MNB
因为DF=NB
所以三角形DEN全等于三角形MNB(ASA)
所以MD=NM

Answer 3

证明：

在DA上截取DF=BM，连接FM

∵MN⊥DM，∠A=90°

∴∠BMN+∠AMD=∠MAF+∠AMD=90°

∴∠BMN=∠MAF

∵AB=AD

∴AM=AF

∴∠AFM=45°

∴∠DFM=135°

∵BN平分∠CBE

∴∠MBN=135°

∴∠MBN=∠DFM

∴△DFM≌△MBN（ASA）

∴MD=MN

Answer 4

过N做NO⊥AB,,
设AM=X,,N0=Y,,正方形边长为a，，
BM=a-X，，相似三角形DAM和MON,,
AM:AD=NO:MN
x:a==y:(a-x+y)
ay==(a-x)x+xy
(a-x)y==(a-x)x
a=/=x,,所以x=y,,
AD=MO,,AM=ON,,∠DAM=∠MON，，
所以三角形DAM于全等三角形MON,,
MD=MN...

Answer 5

在DA上截取DF=NB
因为四边形ABCD是正方形
所以AD=AB
因为DF=NB
所以FA=NA
因为角DAB=90
所以角AFN=角FNA=45度
所以角DFN=135
因为BM是角CBE的平分线
所以角MBN=90+45=135
所以角DEN=角ABM
因为角DNM=90
所以角ADN+角DNA=90度
因为角DNA+角MNB=90
所以角ADN=角MNB
因为DF=NB
所以三角形DEN全等于三角形MNB(ASA)
所以MD=NM

Answer 6

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