Question

将函数f(x)=arctan(2x)展开为幂级数,并求收敛域

Answer 1

(arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-1)^n(x)^(2n)
故arctanx=(-1)^n[x+x^3/3+...+x^(2n+1)/(2n+1)+...])=∑(-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)
故arctan(2x)=∑(-1)^n * (2x)^(2n+1)/(2n+1)
收敛域[-1/2,1/2]

追问

f(x)=arctan(2x)
f'(x)=2/(1+x^2)=2Σ(0,+∞)(-x^2)^n=2Σ(0,+∞)(-1)^n * x^(2n) |x|<1
积分得：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1)
当x=1和-1时，为收敛的交错级数。
故：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1) |x|《1

你们两个答案不一样。。