将函数f(x)=arctan(2x)展开为幂级数,并求收敛域

nsjiang1
2012-06-22 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
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f(x)=arctan(2x)
f'(x)=2/(1+x^2)=2Σ(0,+∞)(-x^2)^n=2Σ(0,+∞)(-1)^n * x^(2n) |x|<1
积分得:f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1)
当x=1和-1时,为收敛的交错级数。
故:f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1) |x|《1
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追问
(arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-1)^n(x)^(2n)
故arctanx=(-1)^n[x+x^3/3+...+x^(2n+1)/(2n+1)+...])=∑(-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)
故arctan(2x)=∑(-1)^n * (2x)^(2n+1)/(2n+1)
收敛域[-1/2,1/2]

你们两个答案不一样。。
追答
我打错了
yu0144yu
2012-06-22 · TA获得超过109个赞
知道答主
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就是把cosx展开成0处的幂级数,有现成的公式套的,然后可以和分母约。再求导的话就是直接对幂级数求导。 书上都有,列出来的。
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