Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是射线CB上的一个动点，过点D作DF⊥DE，交BA的延长线与点F

如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是射线CB上的一个动点，过点D作DF⊥DE，交BA的延长线与点F，EF交对角线AC所在的直线与点M，DE交AC于点N。
（1）求证：CE＝AF
（2）求证：MF＝ME
（3）随着点E在射线CB上运动，NA*MC的知是否会发生变化？若不变，请求出NA*MC的值；若变化，请说明原因。

Answer 1

(1)证明：DF⊥DE，所以∠ADF+∠ADE=90
ABCD为正方形，所以∠CDE+∠ADE=90
因此∠ADF=∠CDE
在△ADF和△CDE中
∠ADF=∠CDE，∠DAF=∠DCE=90，AD=CD
所以△ADF≌△CDE。因此AF=CE
（2）从E作EP垂直BC，交AC于P
AF⊥BC，EP⊥BC。
所以AF∥EP，∠AFM=∠PEM，∠FAM=∠EPM
因为P在AC上，∠ECP=45。所以CE=PE
由（1）结论可得AF=PE
在△AFM和△PEM中，
∠AFM=∠PEM，∠FAM=∠EPM，AF=PE
所以△AFM≌△PEM。因此MF=ME
（3）由（1）中三角形全等可得DE=DF，所以△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=45
由（2）结论可得M为EF中点，所以DM⊥EF。
故∠MDE=45
∠CMD为△AMD外角，∠CMD=∠MDA+∠DAC=∠MDA+45
∠ADN=∠MDA+∠MDE=∠MDA+45
所以∠CMD=∠ADN
∠DCM=∠DAN=45
因此△MCD∽△DAN
MC：DA=DC：NA
MC×NA=DA×DC=4×4=16
因此NA和MC的乘积不发生变化