Question

定义法证明函数的单调性

Answer 1

证明函数单调性的方法有：定义法（即比较法）和导数法。实际上，用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。

求差比较证明步骤：
①取值：
设 ， 为该区间内任意的两个值，且 ；
②作差、变形：
作差 ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；。
③定号：
确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；
④判断：
根据定义作出结论。

【例】：判断并证明： 在 上的单调性．
证明：设 ,

函数 在区间 是增函数.

【注意】
①在用定义法证明单调性时，为了确定符号，一般是将 尽量分解出 因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式的符号的确定.
②若要证明 在区间上不上单调函数，只要举出反例即可，即只要找到两个特殊的 ， 不满足定义即可。