Question

解析几何问题，如下图，第二个等号后面的式子是怎么来的，谢谢！

括号里面三个都是向量，第一个向量由第二个括号里的第一个式子来表示，其中x，y，z 是向量的系数，括号代表向量的混合积，这样说明得够详细了吧？

Answer 1

用导数求解析几何的最值问题
2011-05-18 08:49 来源： 文字大小：【大】【中】【小】

导数在数学解题中有广泛的应用，下面谈谈如何用导数求解析几何的最值问题．事实上不少解析几何最值问题（如下文例1）用传统的方法是无法解决的，而用导数作为工具可以很容易地解决问题，希望同学们能学好导数，会用导数解决数学问题．
一、求两点距离的最值
例1 已知点是抛物线上的一个动点，定点的坐标为，求的最小值．
解 设，则
=．
令，则
．
当时，；当时，；当时，．
∴当时，取最小值5，取最小值．
点评 用点的横坐标表示得=，下一步的关键是求出的最小值，而是关于的四次函数，用传统的常用方法（配方法、重要不等式等）行不通，而用导数可以轻松地求出最小值．
二、求弦长的最值
<![endif]-->

例2 已知椭圆，点是椭圆短轴上一点，过点任作直线与椭圆交于，两点，求弦的长度的最大值．
解 （1）当直线的斜率不存在时，过点的直线为轴，=；
当直线的斜率存在时，设直线斜率的为，直线方程为．
把代入方程，并化简整理，得
<![endif]-->．
设，，则
<![endif]-->，．
<![endif]-->=
令，则，．
令，得．
当，时，；当，+时，．
故当时，取极大值，取极大值6．
综上，的最大值为6．
点评 用直线的斜率表示得，由于式子中的都是偶次幂，通过令来降次化简，这是重要的一步，它大大地降低了后面求导运算及解答的难度，可以用传统方法（判别式法）求式子的最大值，但没有用导数求来得自然流畅．
三、求面积的最值
例3 已知椭圆的的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为．求四边形的面积的最小值．

解 （1）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简，得
．
设，，则
，．
=；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以．
四边形的面积为
．
令，．
．
令，得．（∵，舍去）
当时，；当时，．∴当，即时，取极小值．
2当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
点评 本题是2007年高考全国卷1第21题中的一个小题．下面是命题组给出的求的最小值的方法：
，当时，上式取等号．该解法是利用重要不等式运用放缩法求解的，看似简洁，实则难度较大，一般考生很难观察出这种数量关系，而用导数求解非常亲切自然，虽然运算复杂一点，但一般学生都可轻松接受、掌握，是值得下工夫掌握的通法．

【练习】
1.过点作直线，与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求线段的长度的最小值．
2.如图，已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点．（1）求的取值范围；（2）求四边形面积的最大值．

【参考答案】
1. ．提示：设直线斜率的为，用斜率表示，．令+5，对求导，再求出最大值．
2. （1） （2）

Answer 2

=(xα+yβ+zγ)×β·γ
=(xα×β+yβ×β+zγ×β)·γ
而β×β=0
γ×β·γ=0
故
=xα×β·γ
=x(α,β,γ)

Answer 3

真心不会啊 括号里面是向量？