Question

x2+y2=1,P为平面内一点（x0,y0）,Q为圆上一点,角OPQ=30°,求P点的轨迹面积

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Answer 1

试题答案：（Ⅰ）设P（x0，y0），M（x，y），∵点P为圆O；x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M，∴x=x0y=12y0，∴x0=xy0=2y，…2分代入x2+y2=4，得曲线C的方程：x24+y2=1．…4分（Ⅱ）依题意l斜率存在，其方程为y=kx+2，由x2+4y2=4y=kx+2，消去y整理得（4k2+1）x2+16kx+12=0，△=（16k）2-4（4k2+1）×12=4（4k2-3），由△＞0，得4k2-3＞0，①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-16k4k2+1，x1x2=124k2+1．②…6分∴|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[(-16k4k2+1)2-4•124k2+1]，③原点到直线l距离为d=|2|1+k2，④…8分由面积公式及③④得SOAB=12×|AB|d=44k2-3(1+4k2)2=44k2-3(1+4k2)2=44k2-3(4k2-3)+8(4k2-3)+16=414k2-3+8+164k2-3≤4116=1，…10分当且仅当 4k2-3=164k2-3，即4k2-3=4时，等号成立．此时S△OAB最大值为1．…12分．

Answer 2

试题答案：（Ⅰ）设P（x0，y0），M（x，y），∵点P为圆O；x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M，∴x=x0y=12y0，∴x0=xy0=2y，…2分代入x2+y2=4，得曲线C的方程：x24+y2=1．…4分（Ⅱ）依题意l斜率存在，其方程为y=kx+2，由x2+4y2=4y=kx+2，消去y整理得（4k2+1）x2+16kx+12=0，△=（16k）2-4（4k2+1）×12=4（4k2-3），由△＞0，得4k2-3＞0，①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-16k4k2+1，x1x2=124k2+1．②…6分∴|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[(-16k4k2+1)2-4•124k2+1]，③原点到直线l距离为d=|2|1+k2，④…8分由面积公式及③④得SOAB=12×|AB|d=44k2-3(1+4k2)2=44k2-3(1+4k2)2=44k2-3(4k2-3)+8(4k2-3)+16=414k2-3+8+164k2-3≤4116=1，…10分当且仅当 4k2-3=164k2-3，即4k2-3=4时，等号成立．此时S△OAB最大值为1．…12分．