Question

线性代数计算特征多项式时有什么技巧

Answer 1

技巧：尽量利用行列式的性质，使某行出现λ的一次因式的公因子。

线性代数重要定理：

1、每一个线性空间都有一个基。

2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

3、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

扩展资料：

1、线性为量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

2、非线性则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

3、线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。

参考资料来源：百度百科-线性代数

参考资料来源：百度百科-多项式

Answer 2

由于多项式的因式分解比较困难, 所以在求矩阵的特征值时
[关键] 尽量利用行列式的性质,使某行出现λ的一次因式的公因子
当然也有不好凑的例子, 但大多数考题都不会太困难
例: A =
4 -2 2
2 -1 1
-2 1 -1

解: |A-λE| =
4-λ -2 2
2 -1-λ 1
-2 1 -1-λ

r3+r2
4-λ -2 2
2 -1-λ 1
0 -λ -λ (在将第3行某个元素化为0的同时, 另两个元素成比例)

c2-c3
4-λ -4 2
2 -2-λ 1
0 0 -λ (这样就可以按第3行展开了)

= -λ[(4-λ)(-2-λ)+8]
= -λ(λ^2-2λ) (这里一般要用十字相乘法进行分解)
= -λ^2(λ-2).

所以A的特征值为 2,0,0

Answer 3

将矩阵化成相似的海森堡阵，再递推出特征多项式

Answer 4

多画图，多做题，同时基本性质也要掌握

Answer 5

λE-A的行列式