Question

设f(x)=x^2+ax+b,求证绝对值f(1)绝对值 f(2)绝对值 f(3)中至少有一个不小于1/2

Answer 1

{3个数至少有一个不小于1/2,相反的意味着3个数都小于1/2,那么此题只要假设3个数都小于1/2,并且证明假设部成立,那么原命题得证}
反证法
假设│f(1)│ │f(2)││f(3)│中 都 小于1/2
方法一 （这种方法很麻烦）
得方程组│1+a+b│＜1/2;│4+2a+b│＜1/2;│9+3a+b│＜1/2
做aOb的平面直角坐标系,a为横轴,b为纵轴（当然也可以b为横轴,a为纵轴,平自己习惯）
画│1+a+b│＜1/2,即 -1/2+a+b＜0； 3/2+a+b＞0,得区域①
画│4+2a+b│＜1/2,即 7/2+2a+b＜0； 9/2+2a+b＞0,得区域②
画│9+3a+b│＜1/2,即17/2+3a+b＜0；19/2+3a+b＞0,得区域③
（我这没有电脑画图的东西,通过手画）
通过图形可知区域①②③没有公共区域,那么方程组无解
所以假设不成立,原命题成立
方法二 （这种方法做多了才会想到）
注意到f(1)=1+a+b,f(2)=4+2a+b,f(3)=9+3a+b
所以f(1)+f(3)-2f(2)=2
根据绝对值不等式的性质可知
2=|f(1)+f(3)-2f(2)| ≤ |f(1)|+|f(3)|+2|f(2)| < 1/2+1/2+2*1/2 = 2
所以2