Question

有界的数列一定是收敛的数列吗

Answer 1

用反证法。假设1/x有界，1/x<=M，M>1；则x>=1/M，不妨取x=1/2M属于（0，1），则有2M<=M，所以M=<0，因此矛盾，如此得证在0到1上无界。

判断函数有界性的技巧：

判断函数有界性：设函数f(x)在区间X上有定义，如果存在M> 0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在区间X上有界，否则称f(x)在区间上无界。 

函数的有界性。 设函数f(x)的定义域为D，f(x)集合D上有定义。 

如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。 

反之，如果存在数字K2，使得f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界。

有界数列是否一定收敛?无界数列是否一定发散?

有界数列不一定是收敛。数列例如摆动数列是有界的，因对一切n有，但它是发散的，而数列也是有界的，因对一切n有，但数列是收敛的有。 

无界数列一定是发散的，因为如果它是收敛的，根据收敛数列是有界的，得出数列有界的结论。