Question

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(x+3)是奇函数.？

Answer 1

你这个解得不对.
f(x+1)为奇函数,∴f(x)关于（1,0）对称.这个对称是奇函数的中心对称,然后-x和x+2关于（1,0）对称,所以f(-x) = -f(x+2),
ps：就像是如果g(x)是个奇函数,那么g(x)关于（0,0）中心对称,然后-x和x关于（0,0）是对称点,所以g(-x)=-g(x)
然后f(x-1)为奇函数,f(x)关于（-1,0）对称,f(-x) = -f(x-2),
所以f(x+4) = f(x),f(x)是周期为4的周期函数.
-然后 f(x+3) = f[(x+1)+2] = -f(-x-1) = -f(-x-1+4) = -f(-x+3）,f(x+3)为奇函数,这样才对
ps：你把f(x+3)看做g(x),奇函数是指g(-x)=-g(x),要是f(x+3) = -f(-x-3),那么f(x)就成了奇函数了,6,f(x-1)是奇函数，则有f(-x-1)=-f(x-1)；②在①式中令x=x+1，C.f（x）=f（x+2）若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，说明函数右移一,2,详细解答
因为f(x+1)向右平移1个单位得到f(x)，所以f(x+1)对称中心（0，0）移到（1，0）.
f(x+1)为奇函数，∴f(x)关于（1，0）对称。这个对称是奇函数的中心对称，然后-x和x+2关于（1，0）对称，所以f(-x) = -f(x+2),　也可写成f(x+2) =　- f(-x)后面用
然后f(x-1)为奇函数，f(x)关于（-1，0）对称,f(-x...,1,奇函数关于（1，0）对称
即对称点两侧等距上的值互为相反数，且等距的横坐标相加之和均值为1
所以f(-x)=-f(x+2),0,-x关于1的对称是1*2-（-x）=x+2
然后根据奇函数的定义f(-x)=-f(x+2),0,函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(x+3)是奇函数.
∵f(x+1)为奇函数,∴f(x)关于（1,0）对称.
∴f(-x) = -f(x+2),
同理 ：f(x-1)为奇函数,∴f(x)关于（-1,0）对称,
∴f(x+4) = f(x),由 f(x+3) = f[(x+2)+1] = -f(-x+1) = -f(-x+1-4) = -f(-x-3),
得f(x+3)为奇函数.
其中,∵f(x)关于（1,0）对称.∴f(-x) = -f(x+2),
这部分我不明白.
请说明一下.