Question

老师在黑板上写出三个算式：5²-3²=8×2，9²-7²=8×4，

老师在黑板上写出三个算式：5²-3²=8×2，9²-7²=8×4，15²-3²=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²-5²=8×12，15²-7²=8×22，请你写出两个不同于上面算式具有上述规律的算式；用文字写出反映上述算式的规律；说明这个规律的正确性。

Answer 1

我们看看平方差公式，a" - b" = ( a + b ) ( a - b )
5" - 3" = ( 5 + 3 ) ( 5 - 3 ) = 8 X 2
9" - 7" = ( 9 + 7 ) ( 9 - 7 ) = 16 X 2 = 8 X 4
15" - 3" = ( 15 + 3 ) ( 15 - 3 ) = 18 X 12 = 2 X 9 X 3 X 4 = 8 X 27
11" - 5" = ( 11 + 5 ) ( 11 - 5 ) = 16 X 6 = 8 X 12
15" - 7" = ( 15 + 7 ) ( 15 - 7 ) = 22 X 8 = 8 X 22
还要多写几个吗？
7" - 5" = ( 7 + 5 ) ( 7 - 5 ) = 12 X 2 = 8 X 3
11" - 9" = ( 11 + 9 ) ( 11 - 9 ) = 20 X 2 = 8 X 5
13" - 5" = ( 13 + 5 ) ( 13 - 5 ) = 18 X 8 = 8 X 18

这是怎么回事呢？
我们用字母 n 表示自然数，2n 就是偶数，2n+1 就是奇数；
两个不同的奇数，就是 2a +1 和 2b +1 ，
它们两个的和就是 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1) ，正是偶数 2n 的模式；
它们两个的差就是 2a - 2b = 2(a-b) ，又是偶数 2n 的模式；
两个奇数的平方差，就是 2(a+b+1) X 2(a-b) = 4(a+b+1)(a-b)，肯定能够被 4整除；

继续分析，
两个相邻的奇数，2a +1 和 2b +1 ，a 和 b 就肯定一个是奇数，一个是偶数，
这样，(a+b+1) 就是 奇数 + 偶数 + 1 = 偶数 ，
两个奇数拉开距离，a 和 b 一奇一偶就也是这样；
如果 a 和 b 都是奇数，或者 a 和 b 都是偶数，
那么，(a-b) 就是 奇数减奇数，或者偶数减偶数，又得到偶数，

这样一来，4(a+b+1)(a-b) ，要么 (a+b+1) 是偶数，要么 (a-b) 是偶数，
两个奇数的平方差，就肯定是 8的倍数，肯定能够被 8 整除。
这个规律，我们就找到了！

Answer 2

规律是: 两个奇数的平方差能被8整除.
证明:
令两个奇数分别为2m+1和2n+1,且m>n
则(2m+1)²-(2n+1)²
=4m²+4m+1-(4n²+4n+1)
=4(m+n)(m-n)+4(m-n)
=4(m+n+1)(m-n)
如果m与n奇偶性相同,则(m-n)是偶数,否则(m+n+1)是偶数
所以(m+n+1)(m-n)一定能被2整除
所以4(m+n+1)(m-n)一定能被8整除.

Answer 3

(1)7^2-5^2=8X3
9^2-3^2=8X9
(2)奇数的平方的差是8的倍数
（3）设任意的两个奇数分别为2K＋1和2H＋1
那么（2K＋1）＾2—（2H＋1）＾2＝4K＾2＋4K＋1—4H＾2—4H—1
＝4K（K＋1）—4H（H＋1）
因为K和K＋1是相邻的两个数，所以其中一个肯定是偶数
同理H和H＋1其中一个肯定是偶数
所以4K（K＋1）和4K（K＋1）是8的倍数
所以（2K＋1）＾2—（2H＋1）＾2是8的倍数

Answer 4

解：（1）112-92=8×5，132-112=8×6．
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，
则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）．
当m，n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数．
当m，n-奇-偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数
所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．

Answer 5

我们看看平方差公式，a" - b" = ( a + b ) ( a - b )
5" - 3" = ( 5 + 3 ) ( 5 - 3 ) = 8 X 2
9" - 7" = ( 9 + 7 ) ( 9 - 7 ) = 16 X 2 = 8 X 4
15" - 3" = ( 15 + 3 ) ( 15 - 3 ) = 18 X 12 = 2 X 9 X 3 X 4 = 8 X 27
11" - 5" = ( 11 + 5 ) ( 11 - 5 ) = 16 X 6 = 8 X 12
15" - 7" = ( 15 + 7 ) ( 15 - 7 ) = 22 X 8 = 8 X 22
还要多写几个吗？
7" - 5" = ( 7 + 5 ) ( 7 - 5 ) = 12 X 2 = 8 X 3
11" - 9" = ( 11 + 9 ) ( 11 - 9 ) = 20 X 2 = 8 X 5
13" - 5" = ( 13 + 5 ) ( 13 - 5 ) = 18 X 8 = 8 X 18

这是怎么回事呢？
我们用字母 n 表示自然数，2n 就是偶数，2n+1 就是奇数；
两个不同的奇数，就是 2a +1 和 2b +1 ，
它们两个的和就是 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1) ，正是偶数 2n 的模式；
它们两个的差就是 2a - 2b = 2(a-b) ，又是偶数 2n 的模式；
两个奇数的平方差，就是 2(a+b+1) X 2(a-b) = 4(a+b+1)(a-b)，肯定能够被 4整除；

继续分析，
两个相邻的奇数，2a +1 和 2b +1 ，a 和 b 就肯定一个是奇数，一个是偶数，
这样，(a+b+1) 就是 奇数 + 偶数 + 1 = 偶数 ，
两个奇数拉开距离，a 和 b 一奇一偶就也是这样；
如果 a 和 b 都是奇数，或者 a 和 b 都是偶数，
那么，(a-b) 就是 奇数减奇数，或者偶数减偶数，又得到偶数，

这样一来，4(a+b+1)(a-b) ，要么 (a+b+1) 是偶数，要么 (a-b) 是偶数，
两个奇数的平方差，就肯定是 8的倍数，肯定能够被 8 整除。
这个规律，我们就找到了！O(∩_∩)O哈哈~