Question

高一数学 等差等比数列问题，求高手解答，谢谢，急！

Answer 1

解：（Ⅰ）a1=1 3 -c，a2=(1 3 )2-1 3 =-2 9 ，a3=(1 3 )3-(1 3 )2=-2 27 （3分）
因为{an}为等比数列所以a22=a1a3，得c=1（4分）
经检验此时{an}为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵bn+1=bn 1+2bn (n∈N*)
∴1 bn+1 =1 bn +2(n∈N*)
数列{1 bn }为等差数列 （7分）
又S1=b1=c=1，所以1 bn+1 =1 b1 +(n-1)×2=2n-1(n∈N*)
所以bn=1 2n-1 （n∈N*）（10分）
（Ⅲ）Tn=1 2 (1 b1 -1 b2 +1 b2 -1 b3 +…+1 bn -1 bn+1 )=1 2 (1-1 2n+1 )=n 2n+1 （12分）
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列
则1 3 ×n 2n+1 =(m 2m+1 )2，所以n=3m2 -2m2+4m+1由n＞m＞1得3m2 -2m2+4m+1 ＞m且-2m2+4m+1＞0
即 2m2-m-1＞0 2m2-4m-1＜0 ，所以 m＞1或m＜-1 2 1- 6 2 ＜m＜1+ 6 2
因为m为正整数，所以m=2，此时n=12
所以满足题意的正整数存在，m=2，n=12

Answer 2

1.2问和第一个回答一样 但第三问有较快方法
解：（Ⅰ）a1=1 3 -c，a2=(1 3 )2-1 3 =-2 9 ，a3=(1 3 )3-(1 3 )2=-2 27 （3分）
因为{an}为等比数列所以a22=a1a3，得c=1（4分）
经检验此时{an}为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵bn+1=bn 1+2bn (n∈N*)
∴1 bn+1 =1 bn +2(n∈N*)
数列{1 bn }为等差数列 （7分）
又S1=b1=c=1，所以1 bn+1 =1 b1 +(n-1)×2=2n-1(n∈N*)
所以bn=1 2n-1 （n∈N*）（10分）
（Ⅲ）Tn=1 2 (1 b1 -1 b2 +1 b2 -1 b3 +…+1 bn -1 bn+1 )=1 2 (1-1 2n+1 )=n 2n+1 （12分）
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列
则n/2n+1=3m^2/(2m+1)^2 变形得 n=3m^2/(-2m^2+4m+1) 因为n为正整数 故-2m^2+4m+1>0
求根公式可得1<m<X1<3 (其中X1为大解） 故m=2 代入上式有n=12