Question

已知函数f(x)=ax^3-3/2*x^2+1(x属于R)其中a大于0，若在区间{-1/2,1/2}上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f′（x）=3ax²-3x=3x(ax-1)．

令f′（x）=0，解得x=0或x=1/a．

以下分两种情况讨论：

①若0<a≤2

则1/a≥½

当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(图1)

当x∈[﹣½，½]时

f(x)>0等价于

f(-½)>0

f(½)>0

即（5-a)/8>0

     (5+a)/8>0

解得:-5<a<5

∴0<a≤2

②若a>2

则0<1/a<½

当x变化时f’(x)，f(x)的变化如下表：(图2）

当x∈[-½,½]时

f(x)>0等价于

f(-½)>0

f(1/a)>0

即(5-a)/8>0

   1-(1/2a²)>0

解得：√2/2<a<5  或者  a<-√2/2

综合①、②所述：

0<a<5