Question

等差乘等比

cn=an*bn,an=2^n ,bn=2n,求数列cn的前n项和Tn

Answer 1

等差×等比，一般都用错位相减法：
Tn=c1+c2+c3+...+cn，即：
Tn=2*2¹+4*2²+6*2³+...+2(n-1)*2ⁿ⁻¹+2n*2ⁿ
2Tn=2*2²+4*2³+...+2(n-1)*2ⁿ+2n*2ⁿ⁺¹
两式相减：
Tn-2Tn=2*2¹+2*2²+2*2³+...+2*2ⁿ⁻¹+2*2ⁿ - 2n*2ⁿ⁺¹
我们发现前面连加的部分是等比的，根据等比数列求和公式，所以：
- Tn=2ⁿ⁺² - 4 - 2n*2ⁿ⁺¹
整理，得：
Tn =(n-1)*2ⁿ⁺² + 4

Answer 2

tn=2[2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n]
2tn=2[ 2^2+2*2^3+3*2^4+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]
相减：-tn=2[2+2^2+2^3+....2^n-n*2^(n+1)]
=2[2(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)]
=2[2^(n+1)-2-n*2^(n+1)]
所以tn=n*2^(n+2)-2^（n+2）+4

Answer 3