Question

函数f(x)=6cos^wx/2+根号3sinwx-3(w>0)在一个周期内的图象如图所以，A为图象的最高点，

函数f(x)=6cos^wx/2+根号3sinwx-3(w>0)在一个周期内的图象如图所以，A为图象的最高点，B.C为图象与x轴的交点，且三角形ABC为正三角形。
1）求w的值及函数f(x)的值域;
2)若f(x0)=8根号3/5，且x0∈（-10/3，2/3），求f(x0+1)的值。

Answer 1

1)
f(x)=6cos^2(wx/2)+√3sinwx-3=3(1+coswx)+√3sinwx-3=√3sinwx+3coswx
f(x)=√3sinwx+3coswx=2√3[sinwxcos(π/3)+coswxsin(π/3)]=
f(x)=2√3sin(wx+π/3)
过A点作AA ' ⊥OX于X ' AA '=2√3 因为ΔABC是正三角形，所以AA '=√3BA '=2√3所以BA '=2
BA ' =(1/4)*T=2 ==>T=8=2π/w ==>w=π/4
f(x)=2√3sin[(π/4)x+π/3]

2)
2√3sin[(π/4)x0+π/3]=8√3/5 ==>sin[(π/4)x0+π/3]=4/5 ①
-10/3<x0<2/3 ==>-π/2<(π/4)x0+π/3<π/2
由①可知 cos[(π/4)x0+π/3]=3/5 ②
f(x0+1)=2√3sin[(π/4)(x0+1)+π/3]=2√3sin{[(π/4)x0+π/3]+π/4}=
=sin[(π/4)x0+π/3]cos(π/4)+cos[(π/4)x0+π/3]sin(π/4)=
=(4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)=7√2/10

所以：f(x0+1)=7√2/10

Answer 2

2012四川高考解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+
3
sinωx
=2
3
sin（ωx+
π
3
），
又正三角形ABC的高为2
3
，从而BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即
2π
ω
=8，ω=
π
4
，
∴数f（x）的值域为[-2
3
，2
3
]…6分
（Ⅱ）∵f（x0）=
8
3
5
，由（Ⅰ）有f（x0）=2
3
sin（
π
4
x0+
π
3
）=
8
3
5
，
即sin（
π
4
x0+
π
3
）=
4
5
，由x0∈(-
10
3
，
2
3
)，知
π
4
x0+
π
3
∈（-
π
2
，
π
2
），
∴cos（
π
4
x0+
π
3
）=
1-(
4
5
)2
=
3
5
．
∴f（x0+1）=2
3
sin（
π
4
x0+
π
4
+
π
3
）=2
3
sin[（
π
4
x0+
π
3
）+
π
4
]=2
3
[sin（
π
4
x0+
π
3
）cos
π
4
+cos（
π
4
x0+
π
3
）sin
π
4
]
=2
3
（
4
5
×
2
2
+
3
5
×
2
2
）
=
7
6
5
…12分

Answer 3

第二小题应有所纠正：
2)
2√3sin[(π/4)x0+π/3]=8√3/5 ==>sin[(π/4)x0+π/3]=4/5 ①
-10/3<x0<2/3 ==>-π/2<(π/4)x0+π/3<π/2
由①可知 cos[(π/4)x0+π/3]=3/5 ②
f(x0+1)=2√3sin[(π/4)(x0+1)+π/3]=2√3sin{[(π/4)x0+π/3+π/4}=
=2√3sin[(π/4)x0+π/3]cos(π/4)+cos[(π/4)x0+π/3]sin(π/4)=
=2√3[(4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)]=7√6/5
所以：f(x0+1)=7√6/5