Question

已知f(x)=x|x-a|-2 描述: ①若x∈(0，1],f(x)<0恒成立,求a的取值范围

Answer 1

当x∈(0，1]时，有：f(x)<0，即：
x|x－a|－2<0
|x－a|<2/x
研究下：y1=|x－a|及y2=2/x在区间(0，1]上的图像，得：
－1≤a≤2√2
【本题的含义是：y1必须在区间(0，1]内在y2的下方】
作出y1及y2在区间(0，1]上的图像：
①当y1过点(1，2)时，此时满足，解得：a=－1；
②当y1的左支【y=－x＋a】恰好与y2=2/x相切时，应该是a的最大值。
设：切点为M(x0，y0)，y2'=－2/x²=－1，得：x0=√2，即切点是M(√2，√2)，代入y2中，得：a=2√2。由于x∈(0，1]，也就是说，切点M是取不到的，从而直线y=－x＋a还可以向右移动，直到直线过点(1，2)，此时a=3
从而有：－1<a<3

Answer 2

当x>a时，
f(x)=x^2-ax-2<0
无论a取多少都不可能恒成立
当x=<a时，
-x^2+ax-2<0
抛物线顶点纵坐标为2-a^2/4<0
a^2<8且a>=1
则1=<a<2√2