Question

下面函数在求导数时为什么需要单独证明x=0时的导数存在？（请详细解释谢谢）

Answer 1

因为x=0是这个分段函数的分段点，即是一个表达式（sinx)的终点以及下一个表达式(x)的起始点。既然x=0是分段函数的分段点，那么就需要要单独证明左导数等于右导数。如果都存在且相等，那么才能确定函数分段点处导数存在。否则分段函数分段点处导数不存在。

f(0)=0

x<0时导数：(sinx)'=cosx;

x大于等于0时导数:　(x)'＝1；

分段函数的分段点x=0导数：

---

左导：

lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/x = lim(x→0-)(sinx-0)/x = lim(x→0-)sinx/x=1

右导：

lim(x→0+)[f(x)-f(0)]/x = lim(x→0+)(x-0)/x = x/x=1

这样就单独证明了左导数等于右导数。

Answer 2

f(x)
=sinx ; x<0
=x ; x≥0
f(x) 在0+ 与0- 的定义不一样
首先要证明 x=0, f(x) 连续
f(0-)= lim(x->0-) sinx =0
f(0) =f(0+) =lim(x->0+) x =0 =f(0-)
x=0, f(x) 连续
再证明 x=0, f(x) 可导
f'(0-)
=lim(h->0) [sinh - f(0) ]/h
=lim(h->0) sinh/h
=1
f'(0+)
=lim(h->0) [h - f(0) ]/h
=1
=f'(0-)
x=0, f(x) 可导