Question

如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段AD1上的点，且满足向量D1P=λ向量PA(λ＞0)．

Answer 1

解：（1）当λ=1时，点P为AD1的中点，此时DP⊥AD1。
∵AB⊥平面AA1D1D，DP⊂平面AA1D1D，
∴AB⊥DP，又DP⋂AD1=P
∴DP⊥平面ABC1D1，DP⊂平面PDB，
∴平面ABC1D1⊥平面PDB。
（2）连结DC1，则V（D-PBC1）=V（P-DBC1）
AD1//BC1，BC1⊂平面DBC1，AD1⊄平面DBC1
∴AD1//平面DBC1
∴AD1上的各点到平面DBC1的距离都相等，
∴无论λ为何值，点P均在直线AD1上，即点P到底面DBC1的距离不变，也就是三棱锥D-PBC1的体积不变。
（3）连结A1D，则AD1⊥A1D且CB1//A1D。
∵C1D1⊥平面ADD1A1，
∴A1D是斜线C1P在平面ADD1A1内的射影，由三垂线定理，得A1D⊥C1P
又CB1//A1D，∴CB1⊥C1P
∴异面直线C1P与CB1所成的角为90°，
故异面直线C1P与CB1所成的角的余弦值为0。