Question

在R上可导的函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx 当x属于(0,1)时取得极大值，当x属于(1,2)时取得极小值

在R上可导的函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx 当x属于(0,1)时取得极大值，当x属于(1,2)时取得极小值 求根号(a^2+b^2+6a+9)的取值范围

Answer 1

f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx+c，则
导数f'(x)=x^2+ax+2b，
设x^2+ax+2b=(x-x1)(x-x2)， (x1<x2)
则x1+x2=-a ， x1x2=2b，
因为函数f(x)当x属于 (0,1)时取得极大值 ，x属于(1,2)时取得极小值
所以0<x1<1， 1<x2<2，
所以1<-a<3， 0<2b<2，
a^2+b^2+6a+9=(a+3)²+b
-3<a<-1， 0<b<1。
0<a+3<2,
0<(a+3)²<4,0<b²<1
0<(a+3)²+b<5 0< 根号(a^2+b^2+6a+9)<根号5