Question

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为 F (1,0)

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为 F (1,0) ，过抛物线在 x 轴上方的不同两点 A 、B 作抛物线的切线 AC 、BD ，与 x 轴分别交于 C 、D 两点，且 AC 与 BD 交于点 M ，直线 AD 与 BC 交于点 N .
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证： MN ⊥ x 轴；
（3）若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F (1,0) ，求证：直线 AB 过定点

Answer 1

p/2=1 p=2 标准方程 y^2=4x
(2)设A(x1,y1) B(x2,y2) AC y*y1=p(x+x1) BD y*y2=p(x+x2)
M[(y2x1--y1x2)/(y1--y2), p(x1--x2)/(y1--y2)] C(--x1, 0) D(--x2, 0)
AD y=y1(x+x2)/(x1+x2) BC y=y2(x+x1)/(x2+x1 )
N[(y2x1--y1x2)/(y1--y2), (y1x2--y2x1)/(y2--y1)
M与N的横坐标均是 (y2x1--y1x2)/(y1--y2), 所以MN的连线垂直X轴
（3 ）已证明M与N的横坐标均是 (y2x1--y1x2)/(y1--y2), 已知直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F (1,0) 即[(y2x1--y1x2)/(y1--y2)=1 [(y2x1--y1x2)=(y1--y2),
因为A，B是抛物线上的点 y1^2=4x1 y2^2=4x2代入[(y2x1--y1x2)=(y1--y2), 得y1y2=4
AB直线方程：y--y1=(y2--y1)(x--x1)/(x2--x1) 猜想AB直线过定点（--1， 0）
用（--1,0） y1^2=4x1 y2^2=4x2 y1y2=4 代入AB直线方程 左边=--y1
右边=（4/y1--y1)(--1--y1^2/4)/(y2^2/4--y1^2/4)=(4/y1--y1)(--1--y1^2/4)/(4/y1^2--y1^2/4)
=--[(4--y1^2)/y1][(4+y1^2)/4][(4y1^2)/(16-y1^4)]=--y1 左边=右边
所以直线AB一定过点（--1,0）
AB直线方程(y--y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2) x(y2-y1)+y(x1-x2)=x1y2-y1x2