Question

三角形ABC是等腰直角形，角B=90度，点D是AB的中点，点E是BC上的一点，且角CDE=45度，求CE：BE=？

Answer 1

设∠BCD＝α，∠BED＝β，则β＝α＋π/4，BE＝BDcotβ，CE＝BC－BE＝＝2BD－BDcotβ，故：
CE：BE＝（2－cotβ）／cotβ＝2tanβ-1，
tanβ＝tan（π/4+α）＝（sinπ/4cosα＋cosπ/4sinα）／（cosπ/4cosα－sinπ/4sinα）＝（sinα＋cosα）／（cosα－sinα），
而sinα＝√5／5，cosα＝2√5/5，故tanβ＝3√5/5÷√5／5＝3，
CE：BE＝2×3-1＝5

Answer 2

从点E作EF⊥DC于点F。根据题目，D为AB中点，设AD＝BD＝L。

①、∵EF⊥DC、角CDE＝45度

∴△DFE是等腰Rt△，EF＝（√2／2）DE

②、∵Rt△ABC是等腰直角△，AD＝BD＝L

∴BC＝2L

∴DC＝√5L

③、

∵角EFC＝90＝角DBC、角FCB＝角BCD

∴Rt△BDC相似于Rt△FEC

∴EF：CE＝BD：DC

∴（√2／2）DE：CE＝L：√5L

即CE＝（√10／2）DE

④

∵角BDE＝角BDC-45＝角BAC＋角ACD-45，且角BAC＝45

∴角BDE＝角ACD

又∵角DGC＝角DBE

∴Rt△DBE相似于RtDGC

∴BE：DE＝DG：DC

∴BE＝DE•DG／DC

又∵由角BAC＝45度，DG⊥A，

可知DG＝AD＝L，且DC＝√5L

∴BE＝DE•L／（√5L）＝DE／（√5）

⑤综合③、④结果

CE：BE

＝（√10／2）DE／【DE／（√5）】

＝√50／2

Answer 3

设 AD=DB=1,则BC=2,
设∠BDE=α,BE=m,则∠BDC=α+45°，
tanα=BE/BD=m,
tan(α+45°)=(tanα+1)/(1-tanα)=(m+1)/(1-m)=BC/BD=2,
所以m+1=2-2m,
3m=1,m=1/3,
EC=BC-BE=5/3,
所以CE:BE=5.