Question

已知函数f(x)=x|x-a|-2 ，当x属于(0,1]时,恒有f(x)<0，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：分两种情况讨论：
【情况一】当 x ≥ a 时。 由x∈(0,1] ， 可知a ≤ x ≤ 1
此时，f(x)为开口向上的抛物线，且解析式为
f(x) = x² - ax - 2
= (x - a/2)² - (a²+8)/4
令f(x) = 0， 解得 x = [ a ±√(a²+8) ]/2
由题意，x属于(0,1]时,恒有f(x)<0，画图可知 a需同时满足以下两个不等式
[ a +√(a²+8) ]/2 ＞ 1…………………………………………………………①
（且）[ a -√(a²+8) ]/2 ≤ 0…………………………………………………………②

∵ √(a²+8) ＞ √(a²) = |a| ≥ a， 即②式恒成立
又由①得， √(a²+8) ＞ 2 - a
而 a ≤ x ≤ 1，则 2-a ＞0
两边平方， 解得 a ＞ - 1 即，-1 ＜ a ≤ x

【情况二】当 x ＜ a 时。 由x∈(0,1] ， 可知a ＞ x ＞0
此时，f(x)为开口向下的抛物线，且解析式为
f(x) = - x² + ax - 2
= - (x - a/2)² + (a²-8)/4
令f(x) = 0， 解得 x = [ a ±√(a²-8) ]/2
由题意，x属于(0,1]时,恒有f(x)<0，画图可知 a需满足以下不等式 之一
[ a - √(a²-8) ]/2 ＞ 1…………………………………………………………③
（或） [ a + √(a²-8) ]/2 ≤ 0…………………………………………………………④

∵a ＞ x ＞0，故 a + √(a²-8) ＞0， 则④式恒不成立。
又由③得， √(a²-8) ＜ a - 2
首先 a -2 ＞ 0 ，即a ＞2
两边平方， 解得 a ＜ 3 即，2 ＜ a ＜ 3

综上所述，当a满足 -1 ＜ a ≤ x 或 2 ＜ a ＜ 3 时， 即可满足题意。

Answer 2

|x-a|<2/x,即-2/x<x-a<2/x,x-2/x<a<x+2/x,max x-2/x = -1, min x+2/x = 2x2^1/2 即2倍的2开根号，
-1<a<2x2^1/2