Question

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明： （1）若|A|=0，则|A*|=0; (2)|A*|=|A|^n-1

Answer 1

将条件分为A=O和A≠O两种情况。

利用公式AA*=｜A｜E，通过反证法证明。

同样，分为A=O和A≠O两种情况证明。

1、|A|不等于0。

2、r（A）=n。

3、A的列（行）向量组线性无关。

4、A的特征值中没有0。

n阶矩阵A可逆介绍：

数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

Answer 2

||(1)证：

如果r(A)<n-1，A的所有n-1阶子式行列式都为0

由伴随阵的定义，A*=0

∴|A*|=0

如果r(A)=n-1

A(A*)=|A|E=0

A*的列向量为Ax=0的解，根据线性方程组理论

r(A)+r(A*)≤n

∴r(A*)≤1

∴|A*|=0

结论得证！

(2)如果|A|=0，利用(1)的结论，|A*|=0

∴|A*|=|A|^(n-1)

如果|A|≠0，

∵A(A*)=|A|E

∴|A(A*)|=||A|E|【注意|A|是常数，计算行列式提出来就是|A|^n】

即：|A||A*|=|A|^n

∴|A*|=|A|^(n-1)

扩展资料：

定理2 设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

定理3 令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。

参考资料来源：百度百科-矩阵行列式

Answer 3

【分析】：

  (1)将条件分为A=O和A≠O两种情况，利用公式AA*=｜A｜E，通过反证法证明．
   (2)同样，分为A=O和A≠O两种情况证明．

【证明】：

Answer 4

证：
(1). 根据 A * A* = |A| * E，其中E为 n 阶单位阵.
|A| = 0，=> A * A* = 0.
若 A = 0 ，即 A 为 0 矩阵，那么显然 |A*| = 0；
若 A ≠ 0，假设 |A*| ≠ 0，则 A* 可逆， A * A* = 0 => A = 0 ，矛盾，故也有 |A*| = 0.
综上，|A*| = 0.
(2). A * A* = |A| * E，两边取行列式 => |A * A*| = |A| * |A*| = |A|^n. (SS)
若 |A| = 0，由 (1) 知，|A*| = 0，满足：|A*|=|A|^(n-1)；
若 |A| ≠ 0，(SS) 式子两边除以 |A| 就得到：|A*|=|A|^(n-1).
综上，|A*|=|A|^(n-1).

Answer 5

这个由前一道题可以直接推出答案，第23题做了吗？线代第二章章末的第23题，这是我的答案，没有几步，因为主题证明已经在23题给出了。