Question

已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开,折痕EF交AD边于E，交BC边

已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开,折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别结合AF和CE。
（1）求证：四边形AFCE是菱形
(2)若AE=10cm△ABF的面积为24平方厘米，求△ABF的周长

Answer 1

证明（1）根据轴对称性质EF⊥AC且AO=CO,AE=EC,AF=FC
∵矩形ABCD中AD//BC ∴∠EAC=∠FAC ∴△AOF≌△AOE(ASA)
∴AE=AF 即有AE=AF=EC=FC 故四边形AFCE是菱形
（2）设△ABF中AB=Xcm,BF=Ycm,则AF=AE=10cm。
∵△ABF是直角三角形 ∴x²+y²=10²①
又∵△ABF的面积为24平方厘米 ∴½xy=24即xy=48②
联立①②求解（勾股数熟悉的话可口算：6,8,10）x、y分别等于6cm、8cm。
∴△ABF的周长=6+8+10=24cm。

Answer 2

（1）依题意，AF=CF,AE=CE ∠EAF=∠FCE ∴△EAF≡△FCE 又∠AEF=∠CFE ∴AF=CE 即△AFE和△CEF是全等的等边三角形。显而易见四边形AFCE是菱形。
（2）不难证明△ABF是锐角30°的直角三角形，AF=AE=10cm BF=1/2×10cm=5cm
S△ABF=1/2AB×BF=1/2AB×5=24.解得AB=9.6cm .△ABF周长=5+10+9.6=24.6cm.